Test de dépistage (d'après bac 2022)

Selon les autorités sanitaires d'un pays, \(7\,\%\) des habitants sont affectés par une certaine maladie contagieuse.
Afin d'enrailler l'épidémie, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

• pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans \(20\,\%\) des cas ;
  
• pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans  \(1\,\%\) des cas. 
  

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les événements suivants :

• \(M\) : « La personne est malade » ;
  
• \(T\) : « Le test est positif ».
  

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront données sous forme décimale et arrondies à \(10^{-5}\) si nécessaire.

1. Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilités.

2. Construire un arbre pondéré représentant cette situation.

3. Calculer la probabilité que la personne testée soit malade et ait un test positif.

4. Démontrer que \(P(T)=0{,}065\,3\) .

5. Dans le contexte de dépistage de la maladie, est-il plus intéressant de déterminer \(P_M(T)\) ou   \(P_T(M)\) ?

6. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Déterminer la probabilité qu'elle soit malade.

7. Deux personnes sont testées. On suppose que les résultats des tests sont indépendants l'un de l'autre. Calculer la probabilité que les deux tests soient positifs.